Дискретная математика (3.1–5.3) простым языком + Вариант 1

Блок 1 · Лекции 3.1–3.3

Декартово произведение и графики

Блок 2 · Лекции 3.4–4.1

Отношения и матрицы из 0 и 1

Блок 3 · Лекции 4.2–4.4

Пять свойств отношений (подробно!)

Блок 4 · Лекции 4.5–4.8

Эквивалентность, классы и Хассе

Блок 5 · Лекции 5.1–5.3

Функции, образ/прообраз, биекция

Практика · Вариант 1

Разбор всех 9 заданий теста

Блок 1 (Лекции 3.1–3.3): Декартово произведение и графики

Главная идея без зауми

Декартово произведение A × B — это способ составить все возможные пары «каждый с каждым»: на первое место всегда ставится элемент из множества A, на второе — элемент из B. Порядок критически важен: пара (1, 3) совсем не то же самое, что (3, 1).

Пример 1: пошагово собираем пары и тройки

Пусть даны множества A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}, C = ∅ (пустое множество), D = {7, 8}:

A × B: берём число 1 из A и перебираем все элементы из B → получаем пары (1,3), (1,4), (1,5). Затем берём 2 из A и снова перебираем весь B → (2,3), (2,4), (2,5). Всего: 2 × 3 = 6 пар.
B × A: теперь первым идёт элемент из B, вторым из A → {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)}. Пары перевернулись, поэтому A × B ≠ B × A!
A × C = A × ∅ = ∅: в пустом множестве C нет ни одного элемента, поэтому ни одну пару собрать нельзя — получаем пустое множество ∅.
Тройки A × B × D: к каждой из 6 пар A × B приписываем третьим числом сначала 7, потом 8 → 2 × 3 × 2 = 12 троек: (1,3,7), (1,3,8), (1,4,7), (1,4,8), …, (2,5,8).

Пример 2: три вида рисунков на координатной плоскости (x берём из A, y из B)

{2,4} × {3,5,7}: 6 точек

[2,4] × {3,5,7}: 3 отрезка

[1;3) × [2;5): сплошная vs пунктир

Запомни правило границ:

Квадратная скобка [ или ] — число включено: рисуем сплошную жирную линию или закрашенную точку.
Круглая скобка ( или ) — число НЕ включено: рисуем пунктирную линию или выколотую точку.

Проекции, обратное отношение (инверсия) и «домино» композиции

Пример 3: полный расчёт для списка пар P = {(1, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4)}

Проекция на первую ось Пр₁ P: выписываем все первые числа пар без повторов → (1, 2, 3, 3) превращается в {1, 2, 3}.
Проекция на вторую ось Пр₂ P: выписываем все вторые числа пар без повторов → (2, 3, 3, 4) превращается в {2, 3, 4}.
Инверсия (обратное отношение) P⁻¹: в каждой паре просто меняем местами первое и второе число → {(2, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 3)}.
Композиция P ◦ P (правило игры в домино):
Ищем, где конец первой пары совпадает с началом второй. Стык выкидываем, соединяем края:
• Берём (1, 2): ищем пару, которая начинается с 2. Это (2, 3). Стык 2 убираем → получаем (1, 3).
• Берём (2, 3): с 3 начинаются (3, 3) и (3, 4) → получаем (2, 3) и (2, 4).
• Берём (3, 3): с 3 начинаются (3, 3) и (3, 4) → получаем (3, 3) и (3, 4).
• Берём (3, 4): ни одна пара не начинается с 4 → склеить не с чем.
Итого объединяем полученное: P ◦ P = {(1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}.

Блок 2 (Лекции 3.4–4.1): Отношения и матрицы из 0 и 1

Что такое отношение простыми словами?

Отношение ρ — это просто список пар, которые прошли определённый «фейс-контроль» (удовлетворяют условию или правилу). Если пара прошла проверку — мы записываем её в отношение. Если нет — отбрасываем.

Пример 4: откуда берутся 0 и 1 в матрице и почему двойки нет в E_ρ

Пусть даны кандидаты для первых чисел: A = {1, 3, 5} (это числа x),
кандидаты для вторых чисел: B = {2, 4, 6, 8} (это числа y),
и правило допуска в клуб: y − x = 3 (второе число ровно на 3 больше первого).

Шаг 1. Перебираем кандидатов:
• Берём x = 1: проверяем y = 2 (2−1=1 ≠ 3), y = 4 (4−1=3 — подходит! пара (1,4)), y = 6 (6−1=5), y = 8 (8−1=7).
• Берём x = 3: подходит только y = 6 (6−3=3 → пара (3,6)).
• Берём x = 5: подходит только y = 8 (8−5=3 → пара (5,8)).
Итого в отношение попали только 3 пары: ρ = {(1,4), (3,6), (5,8)}.

Шаг 2. Разбираемся с D_ρ и E_ρ (почему двойки нет в E_ρ?):
Множества A и B были просто «списком всех приглашённых». А D_ρ и E_ρ — это список тех, кто реально вошёл в пары (на графе — те точки, к которым привязаны стрелки):
• D_ρ (область определения): собираем все первые числа из наших пар (1,4), (3,6), (5,8) → {1, 3, 5}.
• E_ρ (область значений): собираем все вторые числа из наших пар (1,4), (3,6), (5,8) → {4, 6, 8}.
Почему в E_ρ нет числа 2? Потому что двойка из множества B не подошла ни к одному x! Не существует x ∈ A, чтобы 2 − x = 3 (для этого x должен был быть −1, а у нас в A только 1, 3, 5). На рисунке в точку 2 не прилетает ни одна стрелка — поэтому двойки в E_ρ нет!

Шаг 3. Откуда взялись 0 и 1 в матрице [P]:

[P] =

2468

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Матрица — это просто таблица: строки подписаны элементами A (1, 3, 5), столбцы — элементами B (2, 4, 6, 8).
В клетку ставим 1, если такая пара ЕСТЬ в нашем отношении, и 0, если её НЕТ:
• Строка 1: пара есть только с 4 → на пересечении строки 1 и столбца 4 ставим 1, во все остальные столбцы (2, 6, 8) ставим 0: 0 1 0 0.
• Строка 3: пара есть только с 6 → ставим 1 в столбец 6, остальные нули: 0 0 1 0.
• Строка 5: пара есть только с 8 → ставим 1 в столбец 8: 0 0 0 1.

Пример 5: все 6 операций над матрицами — поклеточно и с объяснением

Возьмём две матрицы размера 2 × 3: [P] =

1	0	1
1	1	0

и [Q] =

0	1	1
1	0	0

1. Дополнение [P] =

0	1	0
0	0	1

Каждый ноль меняем на 1, каждую единицу — на 0 (инвертируем все биты).

2. Обратное (транспонирование) [P⁻¹] = [P^T] =

1	1
0	1
1	0

Поворачиваем матрицу: строки становятся столбцами. Было 2 строки и 3 столбца, стало 3 строки и 2 столбца.

3. Объединение [P ∪ Q] = [P] + [Q] =

1	1	1
1	1	0

Складываем клетки на одинаковых позициях по правилу логического ИЛИ: 1 + 1 = 1 (двоек не бывает!). Если хотя бы в одной матрице есть 1 — пишем 1.

4. Пересечение [P ∩ Q] = [P] * [Q] =

0	0	1
1	0	0

Поклеточное умножение: 1 остаётся только там, где в обеих матрицах на этом месте стояла единица.

5. Разность [P \ Q] = [P] − [Q] =

1	0	0
0	1	0

Вычитание: 0 − 1 = 0 (минусов нет!). Единица остаётся только там, где в P была единица, а в Q на этом месте стоял ноль.

6. Композиция [P ◦ Q] = [P] · [Q]: пусть [P] =

0	1	0
1	1	0

(2×3) и [Q] =

0	1
1	1
1	0

(3×2).
Умножаем матрично «строка на столбец» с логическим сложением 1+1=1:
• Строка 1 матрицы P (0, 1, 0) показывает: возьми 2-ю строку матрицы Q → получаем (1, 1).
• Строка 2 матрицы P (1, 1, 0) показывает: сложи 1-ю и 2-ю строки матрицы Q → (0, 1) + (1, 1) = (1, 1).
Результат: [P ◦ Q] =

1	1
1	1

Блок 3 (Лекции 4.2–4.4): Пять свойств отношений — разбор на простых примерах и матрицах

Вводная: о чём вообще речь?

Когда отношение задано на одном множестве (например, между числами от 1 до 5, или между людьми в одной группе), матрица такого отношения всегда квадратная (число строк = числу столбцов). Математики придумали 5 базовых проверок («свойств»), чтобы понимать, как элементы ведут себя друг с другом.

Таблица 5 свойств отношений: что они значат на человеческом языке

Свойство	Смысл простыми словами	Что смотреть в матрице [P]	Пример «ДА» и пример «НЕТ» с расчётом
1. Рефлексивность	«Каждый дружит сам с собой». Для каждого элемента a обязательно есть пара (a, a).	Главная диагональ — сплошные 1 (все петли на графе на месте).	ДА: отношение `x ≤ y`. Любое число `a ≤ a` (1≤1, 2≤2 и т.д.) → рефлексивно. НЕТ: `y = x²` на натуральных числах ℕ. Проверяем пару (2,2): 2 = 2²? Нет, 2 ≠ 4! Пары (2,2) нет → НЕ рефлексивно.
2. Антирефлексивность (иррефлексивность)	«Никто не дружит сам с собой». В отношении вообще нет ни одной пары (a, a).	Главная диагональ — сплошные 0 (на графе вообще нет петель).	ДА: отношение строгого неравенства `x < y`. Ни одно число не меньше самого себя (1<1 — ложь) → антирефлексивно. НЕТ: `y = x²` на ℕ. Для числа 1: 1 = 1² — верно! Пара (1,1) есть! А должна отсутствовать → НЕ антирефлексивно.
3. Симметричность	«Взаимная дружба». Если есть стрелка от a к b, то обязательно есть обратная стрелка от b к a.	Матрица зеркальна относительно диагонали: [P] = [P]^T.	ДА: отношение «живут в одном городе». Если Вася живёт в одном городе с Петей, то и Петя живёт в одном городе с Васей. НЕТ: `y = x²`. Пара (2,4) есть (4=2²), но обратной пары (4,2) нет (2 ≠ 4²=16) → НЕ симметрично.
4. Антисимметричность	«Игра в одни ворота». Если a ≠ b и есть стрелка a → b, то обратной стрелки b → a быть НЕ МОЖЕТ! Петли (a, a) разрешены!	В произведении *[P] [P]^T вне главной диагонали стоят только 0**.	ДА: `x < y` и `x ≤ y`. Если 2 < 5, то 5 < 2 невозможно. НЕТ: «живут в одном городе» — там если есть (a,b), то есть и (b,a), а здесь встречные стрелки между разными людьми запрещены!
5. Транзитивность	«Друг моего друга — мой друг». Если есть цепочка a → b и b → c, то обязан быть прямой путь a → c.	Все единицы матрицы [P ◦ P] присутствуют в исходной [P] (нет новых связей).	ДА: `x < y`. Если 2 < 5 и 5 < 9, то обязательно 2 < 9. НЕТ: `y = x²`. Цепочка: пара (2,4) есть (4=2²), пара (4,16) есть (16=4²). Нужна прямая пара (2,16). Проверяем: 16 = 2²? Нет, 2²=4 ≠ 16! Прямой пары нет → НЕ транзитивно.

Важнейшая ловушка: почему «не симметрично» — это НЕ то же самое, что «антисимметрично»?

Обычный человек думает: «Если не симметрично, значит антисимметрично». В математике это грубейшая ошибка!
Возьмём отношение из трёх пар: ρ = {(1, 2), (2, 1), (1, 3)}.
• Проверяем симметричность: для пары (1, 3) нет пары (3, 1) → НЕ симметрично.
• Проверяем антисимметричность: для чисел 1 и 2 есть ОБЕ встречные пары (1, 2) и (2, 1) — а они запрещены! → НЕ антисимметрично.
Вывод: отношение может быть ОДНОВРЕМЕННО и не симметричным, и не антисимметричным!

Разбор Примера 6 из лекции 4.4 — шаг за шагом от графа до матриц

Пример 6: граф из трёх вершин 1, 2, 3 и проверка всех 5 свойств

Шаг 1. Составляем матрицу [P] по графу:
Смотрим на стрелки на рисунке:
• Из вершины 1 стрелки идут в 2 и в 3 → в 1-й строке ставим 1 во 2-й и 3-й столбцы: 0 1 1.
• Из вершины 2 стрелка-петля идёт в себя (в 2) и стрелка в 3 → во 2-й строке: 0 1 1.
• Из вершины 3 нет ни одной исходящей стрелки → в 3-й строке одни нули: 0 0 0.
Матрица отношения: [P] =

123

0	1	1
0	1	1
0	0	0

1. Проверка на рефлексивность и антирефлексивность:
Смотрим только на главную диагональ матрицы [P] (клетки (1,1), (2,2), (3,3) сверху слева вниз направо):
На диагонали стоят числа: 0, 1, 0.
• Чтобы была рефлексивность, там обязаны стоять ВСЕ единицы 1, 1, 1 (петли у каждой вершины). У нас нули в 1 и 3 → НЕ рефлексивно.
• Чтобы была антирефлексивность, там обязаны стоять ВСЕ нули 0, 0, 0 (ни одной петли). У нас в клетке (2,2) стоит 1 (петля у двойки) → НЕ антирефлексивно.

2. Проверка на симметричность:
Матрица должна быть симметрична относительно главной диагонали (клетка (i, j) должна быть равна клетке (j, i)):
Смотрим клетку (1, 2): там стоит 1 (стрелка 1 → 2 есть).
Смотрим симметричную клетку (2, 1): там стоит 0 (обратной стрелки 2 → 1 нет!).
Так как 1 ≠ 0, матрица не симметрична → НЕ симметрично.

3. Проверка на антисимметричность — откуда берётся [P] * [P^T] и что это значит:
В чём смысл этой формулы? Мы хотим найти, есть ли хоть одна пара разных вершин, между которыми есть ДВУСТОРОННЕЕ движение (стрелка туда и стрелка обратно).
• Матрица [P] хранит стрелки «туда».
• Транспонированная матрица [P]^T (строки записаны как столбцы) переворачивает все стрелки и хранит стрелки «обратно».
• Поклеточное умножение [P] * [P]^T оставляет единицу только там, где стрелка была И туда, И обратно!

Запишем матрицы и перемножим каждую клетку со своим двойником:

[P] =

0	1	1
0	1	1
0	0	0

[P]^T =

0	0	0
1	1	0
1	1	0

Умножаем клетка на клетку:

1-я строка: (1,1): 0·0 = 0; (1,2): 1·0 = 0; (1,3): 1·0 = 0.
2-я строка: (2,1): 0·1 = 0; (2,2): 1·1 = 1 (на главной диагонали!); (2,3): 1·0 = 0.
3-я строка: (3,1): 0·1 = 0; (3,2): 0·1 = 0; (3,3): 0·0 = 0.

Результат: [P] * [P^T] =

0	0	0
0	1	0
0	0	0

Смотрим на результат: ВНЕ главной диагонали стоят ОДНИ НУЛИ!
А единица на диагонали в клетке (2,2) — это просто петля вершины 2 в саму себя (пара (2,2)), которая в антисимметричности РАЗРЕШЕНА (так как здесь a = b).
Так как вне диагонали нет ни одной единицы, взаимных стрелок между РАЗНЫМИ вершинами нет → АНТИСИММЕТРИЧНО.

4. Проверка на транзитивность — откуда берётся [P ◦ P]:
Мы ищем композицию матрицы с самой собой: [P ◦ P] = [P] · [P].
Умножаем матрицу на саму себя по правилу «строка на столбец» (с логическим сложением 1+1=1):
• Строка 1 матрицы P (0, 1, 1) говорит: сложи 2-ю и 3-ю строки матрицы P → (0, 1, 1) + (0, 0, 0) = (0, 1, 1).
• Строка 2 матрицы P (0, 1, 1) говорит: сложи 2-ю и 3-ю строки матрицы P → (0, 1, 1) + (0, 0, 0) = (0, 1, 1).
• Строка 3 матрицы P (0, 0, 0) говорит: нули → (0, 0, 0).

Получили в точности исходную матрицу: [P ◦ P] = [P] =

0	1	1
0	1	1
0	0	0

.
Ни одной новой единицы не появилось! Все цепочки замыкаются уже существующими стрелками.
Вывод: отношение ТРАНЗИТИВНО.

Блок 4 (Лекции 4.5–4.8): Эквивалентность, классы эквивалентности и диаграмма Хассе

Два главных типа отношений, которые нужно отличать

Тип отношения	Набор из 3 обязательных свойств	Житейский смысл
Отношение эквивалентности (~)	Рефлексивность + Симметричность + Транзитивность	«Разбиение на группы/комнаты равных». Пример: «живут в одном общежитии», «родились в один год», равенство чисел x = y.
Отношение частичного порядка (≤)	Рефлексивность + Антисимметричность + Транзитивность	«Иерархия, кто кого подчиняет или делит». Пример: x ≤ y, должность на работе (директор выше менеджера), «число a делит число b».

Классы эквивалентности: аналогия со студентами в комнатах

Аналогия на пальцах

Представь 6 студентов с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, которых расселили по комнатам общежития.
Если двое ребят эквивалентны — значит, они живут в одной комнате.
Обозначение [1] (класс эквивалентности единицы) читается так: «Назови мне всех студентов, которые живут в одной комнате со студентом 1».

Пример 7: как найти классы эквивалентности прямо по матрице (лекция 4.6)

[P] =

123456

1	1	0	1	0	0
1	1	0	1	0	0
0	0	1	0	1	0
1	1	0	1	0	0
0	0	1	0	1	0
0	0	0	0	0	1

Чтобы узнать, кто входит в класс [a], мы просто смотрим на столбец под номером a и выписываем номера строк, где стоят единицы:

Шаг 1. Ищем класс [1]:
Смотрим сверху вниз по 1-му столбцу матрицы: единицы стоят в строках 1, 2, 4.
Это значит, что со студентом 1 в одной комнате живут студенты 1, 2 и 4 → [1] = {1, 2, 4}.

Шаг 2. Почему [1] = [2] = [4] = {1, 2, 4}?
• Теперь посмотрим на 2-й столбец: в нём единицы стоят ровно в тех же строках: 1, 2, 4! Значит, [2] = {1, 2, 4}.
• Посмотрим на 4-й столбец: единицы снова стоят в строках 1, 2, 4! Значит, [4] = {1, 2, 4}.
В чём суть? Это ОДНА И ТА ЖЕ КОМНАТА! Неважно, по какому жильцу мы её называем — «комната жильца 1», «комната жильца 2» или «комната жильца 4» — внутри находятся одни и те же трое ребят: {1, 2, 4}. Поэтому математически пишут: [1] = [2] = [4] = {1, 2, 4}.

Шаг 3. Ищем остальные комнаты (классы):
• Смотрим в 3-й столбец: единицы стоят в строках 3 и 5 → [3] = {3, 5}.
• Смотрим в 5-й столбец: единицы снова в строках 3 и 5 → [5] = {3, 5}.
Это вторая комната: [3] = [5] = {3, 5}.
• Смотрим в 6-й столбец: единица стоит ТОЛЬКО в строке 6 → [6] = {6}. Это третья комната (одноместная): студент 6 живёт один.

Итог: всё множество разбилось на 3 отдельные непересекающиеся комнаты: {1, 2, 4}, {3, 5}, {6}.
Число этих комнат называется рангом разбиения. Здесь получилось 3 комнаты, значит ранг = 3.

Отношение порядка и диаграмма Хассе

Пример 8: таблица предшественников и диаграмма Хассе для A = {1,2,3,4,6,9,12,18} (лекции 4.7–4.8)

Элемент x	Все делители из A (предшественники)	Ближайшие делители (непосредственные)
1	нет	нет
2	1	1
3	1	1
4	1, 2	2 (единицу вычеркнули, т.к. 1 делит 2)
6	1, 2, 3	2, 3 (единицу вычеркнули через 2 и 3)
9	1, 3	3 (единицу вычеркнули через 3)
12	1, 2, 3, 4, 6	4, 6 (1, 2, 3 делят 4 или 6)
18	1, 2, 3, 6, 9	6, 9 (1, 2, 3 делят 6 или 9)

Как строится диаграмма Хассе:
1. Элементы рисуем снизу вверх (меньшие внизу, большие вверху).
2. Убираем транзитивные перескоки: соединяем линией ТОЛЬКО непосредственных соседей! Если 1 делит 2, а 2 делит 4, то линию 1—4 рисовать ЗАПРЕЩЕНО.
3. Линии рисуем без стрелок (направление и так понятно снизу вверх) и без петель (рефлексивность подразумевается).

Блок 5 (Лекции 5.1–5.3): Отображения (функции), инъекция, сюръекция, биекция

Что такое отображение (функция) простыми словами?

Представь лучников и мишени: множество A — это лучники, множество B — мишени.
Правило функции: КАЖДЫЙ лучник из A обязан выпустить ровно ОДНУ стрелу! Никто не может стоять без дела (0 стрел нельзя), и никто не может выпустить сразу две стрелы в разные стороны.

Разбор Примера 9 из лекции 5.1 — образ и прообраз

Пример 9: откуда взялись числа 3, 10, 7 и что такое образ и прообраз?

Откуда взялись числа 3, 10, 7?
Это НЕ формулы и НЕ скрытые константы! Это ПРОСТО УСЛОВИЕ ТРЕНИРОВОЧНОГО ЗАДАНИЯ, которое преподаватель дал в лекции!
Преподаватель написал на доске: «Дана функция f(x) = x³ + 2, где на вход разрешено подавать только числа из множества ℚ (рациональные числа — целые и обыкновенные дроби типа 1/2, 3/4, 5).
Задание 1: найдите образ числа 3.
Задание 2: найдите прообраз числа 10.
Задание 3: найдите прообраз числа 7».

1. ОБРАЗ числа 3 (прямой ход — обычный школьный расчёт):
«Найти образ числа 3» означает: возьми x = 3 и посчитай по формуле, чему равен y.
Подставляем 3 вместо x:
f(3) = 3³ + 2 = 27 + 2 = 29.
Ответ: образ числа 3 равен 29.

2. ПРООБРАЗ числа 10 (обратный ход — решение уравнения):
«Найти прообраз числа 10» означает: нам дали готовый результат y = 10, найди, какой x надо было подать на вход, чтобы получилось 10.
Составляем уравнение:
x³ + 2 = 10
x³ = 8 ⇒ x = 2.
Проверяем: разрешено ли брать x = 2? Число 2 — целое, значит принадлежит множеству рациональных чисел ℚ (2 ∈ ℚ).
Ответ: прообраз числа 10 равен 2 (записывается f⁻¹(10) = 2).

3. ПРООБРАЗ числа 7 (ловушка на область определения!):
Снова дали результат y = 7. Решаем уравнение:
x³ + 2 = 7
x³ = 5 ⇒ x = ³√5 ≈ 1,7099759…
А теперь стоп, ловушка! Корень кубический из 5 — это иррациональное число (бесконечный непериодический хвост, его невозможно записать в виде обычной дроби m/n).
А в условии чётко сказано: x обязан принадлежать множеству ℚ!
Значит, в разрешённом множестве ℚ подходящего числа x НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
Ответ: прообраз числа 7 пуст: f⁻¹(7) = ∅.

Разбор Примера 10 — Инъекция, Сюръекция, Биекция

Пример 10: аналогия с постояльцами отеля и ключами от номеров

Представь постояльцев (это x из множества A), которые заселяются в номера отеля (это y из множества B):

Понятие	Смысл в аналогии с отелем	Геометрический смысл на графике	Пример
Инъекция	«Никакого подселения!» Ни в один номер нельзя селить двух человек. Каждый постоялец живёт в отдельном номере (разным x соответствуют разные y). (Некоторые номера могут пустовать — это разрешено!)	Любая горизонтальная линия пересекает график не более 1 раза (0 или 1 раз).	f(x) = 2x (каждому x свой уникальный y). НЕ инъекция: f(x) = x², т.к. f(2)=4 и f(−2)=4 (два постояльца претендуют на номер 4).
Сюръекция	«В отеле нет свободных мест!» В КАЖДЫЙ номер заселили хотя бы одного человека (все возможные y покрыты). (В какой-то номер могли поселить двоих — главное, чтобы пустых не осталось!)	Любая горизонтальная линия пересекает график хотя бы 1 раз (1, 2 или больше).	f(x) = x³ − x для вещественных чисел (график идёт от −∞ до +∞ и покрывает все y). НЕ сюръекция: f(x) = x², т.к. квадрат не бывает отрицательным (номера y = −1, −5 пустуют).
Биекция (взаимно однозначное соответствие)	«ИДЕАЛЬНЫЙ ОТЕЛЬ»: Инъекция + Сюръекция вместе! В каждом номере живёт ровно 1 человек, и при этом ни один номер не пустует. Идеальные пары 1 к 1.	Любая горизонтальная линия пересекает график РОВНО 1 РАЗ!	f(x) = 2x + 7 (прямая линия). Для каждого y есть ровно один x: `x = (y − 7) / 2`. Для биекции всегда можно найти обратную функцию.

Разбор Примера 11 — Композиция функций (станки на конвейере)

Пример 11: как подставлять функции и почему важен порядок

Аналогия: конвейер из двух станков
Представь заводской конвейер. Запись (g ◦ f)(x) читается СПРАВА НАЛЕВО:
Справа стоит буква f — значит, деталь x сначала попадает в первый станок f.
Слева стоит буква g — значит, то, что вышло из станка f, отправляется во второй станок g!
Математически это записывается так: g(f(x)). То есть внутрь формулы функции g мы вместо буквы x целиком подставляем формулу f(x)!

Пусть даны две функции: f(x) = x² (станок f возводит всё в квадрат) и g(x) = 2x + 1 (станок g умножает на 2 и прибавляет 1).

1. Считаем (g ◦ f)(x) = g(f(x)):
• Первый станок f выдаёт: x².
• Засовываем x² во второй станок g (вместо x пишем x²):
g(x²) = 2x² + 1.
Проверка на числе x = 3: сначала f(3) = 3² = 9. Затем g(9) = 2·9 + 1 = 19. По формуле: 2·3² + 1 = 18 + 1 = 19. Всё сошлось!

2. Считаем в обратном порядке: (f ◦ g)(x) = f(g(x)):
• Теперь первым работает станок g: он выдаёт 2x + 1.
• Засовываем всю эту скобку (2x + 1) в станок f, который всё возводит в квадрат:
f(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1.
Проверка на числе x = 3: сначала g(3) = 2·3 + 1 = 7. Затем f(7) = 7² = 49.
Посмотри на результаты: 19 ≠ 49! Перестановка станков даёт совсем другой результат! Поэтому (g ◦ f) ≠ (f ◦ g).

3. А что такое (g ◦ g)(x) и (f ◦ f)(x)?
Это когда деталь дважды подряд прогоняют через один и тот же станок:
• (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3.
• (f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(x²) = (x²)² = x⁴.

Блок 6. Полный пошаговый разбор всех 9 заданий Варианта 1

Все 9 заданий из официального файла варианта самостоятельной работы № 2 решены пошагово с выводами.

Задание 1. A = {1, 2, 3}, B = {3, 5} → изобразить A × B

Перебираем каждое число из A с каждым числом из B:
A × B = {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)}.
На координатной плоскости это 6 отдельных точек.

Задание 2. Универсум U = {1..9}, A = {x : x³ − 6x² + 5x = 0}, B = {1, 2, 3}, C = {4, 5}

Ловушка в корнях! Решаем x(x² − 6x + 5) = x(x − 1)(x − 5) = 0. Корни: 0, 1, 5. Но в универсуме U только числа от 1 до 9! Нуля там нет! Значит, A = {1, 5}.

A × B: перебираем {1, 5} с {1, 2, 3} → {(1,1), (1,2), (1,3), (5,1), (5,2), (5,3)} (6 пар).
A × B × C: к каждой паре дописываем число 4, затем 5 → всего 2 × 3 × 2 = 12 троек:
{(1,1,4), (1,1,5), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (5,1,4), (5,1,5), (5,2,4), (5,2,5), (5,3,4), (5,3,5)}.
(A × B) ∩ (C × C): у пар A × B вторые элементы берутся из {1, 2, 3}, а у пар C × C — из {4, 5}. Общих пар нет вообще → ∅ (пустое множество).

Задание 3. Проверить равенство A × (C ∩ (B Δ C)) = (A × C) Δ (A × (B ∩ C)) для A={5,6}, B={6,7}, C={5,7}

Считаем левую часть:
• B Δ C (симметрическая разность — элементы, которые есть только в одном из множеств): семерка есть в обоих, значит уходит → {5, 6}.
• C ∩ {5, 6}: общее только число 5 → {5}.
• A × {5} = {(5,5), (6,5)}.

Считаем правую часть:
• A × C = {(5,5), (5,7), (6,5), (6,7)}.
• B ∩ C = {7} ⇒ A × (B ∩ C) = {(5,7), (6,7)}.
• Симметрическая разность вычёркивает совпадающие пары (5,7) и (6,7) → остаётся {(5,5), (6,5)}.
Вывод: обе части равны {(5,5), (6,5)}. Равенство верно!

Задание 4. Дан график P = {(3,3), (3,4), (4,4), (5,5)}

Обратный график P⁻¹: переворачиваем координаты → {(3,3), (4,3), (4,4), (5,5)}.
P ◦ P: стыкуем концы с началами → (3,3)+(3,3)=(3,3); (3,3)+(3,4)=(3,4); (3,4)+(4,4)=(3,4); (4,4)+(4,4)=(4,4); (5,5)+(5,5)=(5,5) → {(3,3), (3,4), (4,4), (5,5)}.
P⁻¹ ◦ P: берём пары из P⁻¹ и стыкуем с P → {(3,3), (3,4), (4,3), (4,4), (5,5)}.
Проекции: Пр₁(P ◦ P) = {3, 4, 5}; Пр₂(P ◦ P) = {3, 4, 5}; Пр₁(P⁻¹ ◦ P) = {3, 4, 5}.

Задание 5. A = {1..9}, отношение ρ = {(x;y) ∈ A×A | |x + y| < 4}

Так как x, y ≥ 1, сумма x + y должна быть строго меньше 4, то есть 2 или 3.
Подходят варианты: 1+1=2, 1+2=3, 2+1=3. И всё! Все остальные суммы ≥ 4.
ρ = {(1,1), (1,2), (2,1)}. D_ρ = {1, 2}, E_ρ = {1, 2}.
В матрице 9×9 единицы стоят только на местах (1,1), (1,2), (2,1), остальные 78 клеток — нули.
Проверяем 5 свойств:
• Рефлексивность: нет (нет пары (3,3), (4,4) и т.д.).
• Антирефлексивность: нет (есть пара (1,1)).
• Симметричность: ДА (для (1,2) есть обратная (2,1)).
• Антисимметричность: нет (есть встречные пары (1,2) и (2,1)).
• Транзитивность: нет (цепочка (2,1) и (1,2) требует прямую пару (2,2), а 2+2=4 не меньше 4!).
Вывод: отношение не является ни эквивалентностью, ни частичным порядком.

Задание 6. На множестве мужчин задано отношение: a ρ b ⇔ «a — сын b»

Рефлексивность: нет (никто не может быть сыном самого себя).
Антирефлексивность: ДА (никто не сын себе).
Симметричность: нет (если a сын b, то b отец a, а не сын).
Антисимметричность: ДА (невозможно одновременно быть сыновьями друг друга).
Транзитивность: нет (если a сын b, а b сын c, то a приходится c внуком, а не сыном!).
Вывод: не является ни эквивалентностью, ни частичным порядком.

Задание 7. Матричные операции для матриц на A = {1, 2, 3, 4}

[P] =

0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	1	1
0	1	0	1

[Q] =

1	1	0	0
1	0	1	1
0	0	0	1
0	1	1	0

Дополнение [P]: инвертируем все биты в P →
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 0
.
Обратное [P⁻¹]: транспонируем (строки делаем столбцами) →
0 0 1 0
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
.
Объединение [P ∪ Q] = [P] + [Q]: поклеточное ИЛИ →
1 1 0 0
1 1 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1
.
Пересечение [P ∩ Q] = [P] * [Q]: поклеточное умножение →
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
.
Разность [P \ Q] = [P] − [Q]: оставляем 1 только там, где в P единица, а в Q ноль →
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
.
Композиция [P ◦ Q]: умножаем P на Q «строка на столбец» (логически 1+1=1) →
1 0 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
.

Задание 8. Функции f(x) = 3x − 4, g(x) = x³ (множество ℝ → ℝ)

Свойства отображений: обе функции взаимно однозначны (каждому x свой y, и для каждого y есть единственный x) → обе функции биективны.
Образ 1 для функции f: подставляем 1 → f(1) = 3·1 − 4 = −1.
Прообраз 5 для функции f: решаем 3x − 4 = 5 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3.
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x − 4) = (3x − 4)³.
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 3x³ − 4.
(g ◦ g)(x) = g(x³) = (x³)³ = x⁹.
(f ◦ f)(x) = f(3x − 4) = 3(3x − 4) − 4 = 9x − 12 − 4 = 9x − 16.

Задание 9. A = {2, 4, 7, 14, 28, 42}, отношение ρ: «a — делитель b»

Число	Все делители из A	Непосредственные делители
2	нет	нет
4	2	2
7	нет	нет
14	2, 7	2, 7
28	2, 4, 7, 14	4, 14 (2 и 7 вычеркнули, т.к. они делят 4 и 14)
42	2, 7, 14	14 (2 и 7 вычеркнули, т.к. оба делят 14)

Построение диаграммы Хассе:
• Нижний уровень: 2 и 7 (они ни на что из множества не делятся).
• Средний уровень: 4 (соединяем с 2) и 14 (соединяем с 2 и 7).
• Верхний уровень: 28 (соединяем с 4 и 14) и 42 (соединяем только с 14!).
(Линии от 2 до 28 или от 7 до 42 не проводятся, так как они идут через промежуточные узлы!)